Алгоритмы вычисления гамильтоновой нормальной формы

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Обсуждается метод инвариантной нормализации, предложенный В.Ф. Журавлевым, используемый для вычисления нормальных или симметризованных форм автономных систем Гамильтона. Нормализующее каноническое преобразование представлено рядом Ли с помощью порождающего гамильтониана. Этот метод имеет обобщение, предложенное А.Г. Петровым, которое нормализует не только автономные, но и неавтономные гамильтоновы системы. Нормализующее каноническое преобразование представлено рядом с использованием параметрической функции. Для автономных систем Гамильтона первые два шага аппроксимации в обоих методах одинаковы, а остальные шаги различны. Нормальные формы обоих методов идентичны. Также предлагается метод тестирования программы нормализации. Для этого находится гамильтониан сильно нелинейной гамильтоновой системы, для которой нормальная форма является квадратичным гамильтонианом. Нормализующее преобразование выражается в терминах элементарных функций.

Full Text

Restricted Access

About the authors

А. Г. Петров

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Email: batkhin@gmail.com
Russian Federation, Москва

А. Б. Батхин

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН; Самаркандский государственный университет им. Шарофа Рашидова

Author for correspondence.
Email: batkhin@gmail.com
Russian Federation, Москва; Самарканд, Узбекистан

References

  1. Аппель П. Теоретическая механика. Статика. Динамика точки. Т. 1. М.: Физ.-мат. лит., 1960. 515 с.
  2. Батхин А.Б., Батхина Н.В., Сумароков С.И. Применение метода Депри–Хори для исследования периодических решений задачи Хилла // Вестн. ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. 2001. Т. 6. С. 6–11.
  3. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Задача Хилла. Волгоград: Волгоградское науч. изд-во. 2009. 200 с.
  4. Батхин А.Б. Поиск периодических решений с особой симметрией в задаче Хилла // Математич. физ. и компьютер. моделир. 2019. Т. 22. № 3. С. 5–25. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.3.1.
  5. Батхин А.Б. Гомологическое уравнение произвольного порядка и вычисление нормальной формы системы Гамильтона // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша. 2022а. № 19. 24 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-19.
  6. Батхин А.Б. Символьное вычисление гомологического уравнения произвольного порядка и приведение системы Гамильтона к ее нормальной форме // Программирование. 2022б. Т. 48. № 2. С. 7–15. https://doi.org/10.31857/S0132347422020042.
  7. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский ун-т”, 1999. 408 с.
  8. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (I) // Тр. Моск. математич. общества. 1971. Т. 25. С. 119–226.
  9. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (II) // Тр. Моск. математич. общества. 1972. Т. 26. С. 199–239.
  10. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.
  11. Брюно А.Д., Петров А.Г. Вычисление гамильтоновой нормальной формы // Докл. РАН. 2006. Т. 410. № 4. С. 474–478.
  12. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, Физ.-мат. лит., 1979. 320 с.
  13. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу // Прикл. мат. и мех. 1997. Т. 61. № 1. С. 12–17.
  14. Журавлев В.Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем // Прикл. мат. и мех. 2002. Т. 66. № 3. С. 356–365.
  15. Журавлев В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Асимптотическая симметризация гамильтоновых систем: Учебно-методическое пособие по курсу Аналитическая механика. М.: МФТИ, 2010. 53 с.
  16. Журавлев В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики. М.: ЛЕНАНД, 2015. 304 с.
  17. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: “Мир”, 1984. 530 с.
  18. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 352 с.
  19. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: “Мир”, 1976. 456 с.
  20. Петров А.Г. Об инвариантной нормализации неавтономных гамильтоновых систем // Прикл. мат. и мех. 2004. Т. 68. № 3. С. 402–413.
  21. Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 18–28.
  22. Петров А.Г. Асимптотическое решение гамильтоновой системы Хенона–Хейлеса // Докл. РАН. 2007. Т. 417. № 3. С. 342–346.
  23. Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 27–40.
  24. Петров А.Г. О повороте плоскости колебаний тяжелой материальной точки на пружине при резонансе // Докл. РАН. 2014.Т. 454. № 1. С. 42–46.
  25. Петров А.Г. О таутохронных движениях // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2024. Т. 518. № 1. С. 22–28. https://doi.org/10.31857/S2686954324040045.
  26. Прокопеня А.Н. Нормализация гамильтониана в ограниченной задаче многих тел методами компьютерной алгебры // Программирование. 2012. Т. 38. № 3. С. 65–78.
  27. Шевченко И.И. Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике // Дисс. д-ра физ.-мат. наук: 01.03.01. СПб: ГАО РАН, 2000. 257 с.
  28. Batkhin A.B. Computation of homological equations for Hamiltonian normal form // Contemp. Math. 2023. V. 782. P. 7–20. https://doi.org/10.1090/conm/782/15718.
  29. Cabral H.E., Brandão Dias L. Normal forms and stability of Hamiltonian systems. Applied Mathematical Sciences. Switzerland: Springer Nature, 2023. 349 p. https://doi.org/10.1007/978-3-031-33046-9.
  30. Collins P., Burbanks A.D., Wiggins S., Waalkens H., Schubert R. Background and documentation of software for computing Hamiltonian normal forms. Bristol: School of mathematics. Univ. Bristol, 2008. 97 p.
  31. Cherry T.M. On the solution of Hamiltonian systems of differential equations in the neighbourhood of a singular point // Proc. London Math. Soc. 1928. V. s2-27. № 1. P. 151–170. https://doi.org/10.1112/plms/s2-27.1.151.
  32. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech.1969. V. 1. № 1. P. 12–30. https://doi.org/10.1007/BF01230629.
  33. Gustavson F.G. On constructing formal integrals of a Hamiltonian system near an equilibrium point // Astron. J. 1966. V. 71. № 8. P. 670–686. https://doi.org/10.1086/110172.
  34. Haro À. An algorithm to generate canonical transformations: Application to normal forms // Physica D. 2002. V. 167. P. 197–217.
  35. Hori G. Theory of general perturbation with unspecified canonical variable // Publ. Astron. Soc. Japan. 1966. V. 18. № 4. P. 287–296.
  36. Jorba À. A methodology for the numerical computation of normal forms, centre manifolds and first integrals of Hamiltonian systems // Experimental Mathematics. 1999. V. 8. № 2. P. 155–195.
  37. Kamel A.A. Expansion formulae in canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech. 1969. V. 1. № 2. P. 190–199. https://doi.org/10.1007/bf01228838 .
  38. Mersman W. A new algorithm for the Lie transformation // Celest. Mech. 1970. V. 3. № 1. P. 81–89. https://doi.org/10.1007/BF01230434.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Comparison of the approximate solution (solid line) with the exact one (dashed line)

Download (77KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Comparison of the approximate solution (solid line) with the exact one (dashed line)

Download (63KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 The Russian Academy of Sciences