Theoretical Description of Powder Delivery to Direct Laser Deposition Area

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей работе авторов [1] было проведено теоретическое исследование доставки частиц порошка газовым потоком в зону прямого лазерного выращивания. Задача решалась в два этапа. Сначала путем решения уравнения Навье – Стокса, осредненного по Рейнольдсу, рассчитывалось поле скоростей газа, вырывающегося в ограниченное пространство, заполненное тем же газом. Далее интегрировалось уравнение движения частицы с учетом силы Стокса, обусловленной найденным полем. Таким образом удалось описать траектории частиц порошка в рабочей области.

В рассматриваемой задаче несущий газ, вырывающийся из трубочки или сопла в область, занятую тем же газом, представляет собой известную проблему затопленной струи. Эта проблема для случая несжимаемой жидкости, вырывающейся из начала координат в ту же жидкость, была решена Л.Д. Ландау [2]. Обобщение этого решения, а также его применение в некоторых прикладных технических задачах описано в [3, 4].

Учитывая сказанное выше, в данной работе будет рассмотрен полуаналитический подход для нахождения траекторий частиц порошка в задаче прямого лазерного выращивания. Аналитическая часть будет представлена явным решением для затопленной струи невязкой несжимаемой жидкости. Уравнение движения частицы в заданной струе, в режиме стоксового обтекания [5], будет интегрироваться численно.

Новизной представленной работы является применение точного решения уравнения Эйлера для конкретных параметров частиц порошка и газа-носителя, используемых в аддитивных технологиях.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ПОРОШКА В ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Поле скоростей идеальной жидкости

Для определенности будем говорить о трубчатых соплах. Направим ось  вдоль оси одной из трубочек, которая сама по себе может быть либо соплом, либо диффузором. Газ-носитель вырывается из трубочки в область, заполненную тем же газом. В этой постановке, для данной трубочки, задача является аксиально-симметричной. Поэтому поле скоростей газа u, записанное в цилиндрической системе координат, имеет только две компоненты u = (u_r (r, z), u_z (r, z)) и не зависит от полярного угла φ.

Для нахождения u нужно решить стационарное уравнение Навье–Стокса

$\left(u\nabla \right)u-\frac{\eta }{{\rho }_0}\Delta u=-\nabla \frac{p}{{\rho }_0}$, (1)

где ρ₀ — постоянная плотность, p = p (r, z) — давление и η — динамическая вязкость.

Пренебрежем вязкостью, положив в (1) η = 0. В этом случае, как показано в [3], физически правильное решение уравнения (1) будет иметь вид

$\left\{\begin{array}{l}{u}_r\left(r, z\right)=\frac{1}{z}\frac{D}{\xi \sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right),\\ u_z\left(r, z\right)=\frac{1}{z}\frac{D}{\sqrt{1+{\xi }^2}},\end{array}\right.$ (2)

где ξ = r / z — автомодельная переменная, константа D определяет геометрию сопла: D < 0 — сужающаяся трубка тока — сопло; D > 0 — расширяющаяся трубка тока — диффузор.

Константа D определяется через полный поток массы Q [3], проходящий через поперечное сечение трубочки радиусом r₀:

$Q=2\pi {\rho }_0{r}_0\left|D\right|$. (3)

Выражение для давления:

$p\left(r, z\right)=p_{fit}-\frac{{\rho }_0}{z^2}\frac{D^2}{{\xi }^2\sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right)$, (4)

где ρ₀ — плотность, p_fit — константа.

Решения (2)–(4) удовлетворяют уравнению Бернулли

${\rho }_0\frac{u_r^2\left(r, z\right)+u_z^2\left(r, z\right)}{2}+p\left(r, z\right)=p_{fit}$. (5)

При этом для безграничного пространства выполняется условие потенциального течения ∇ × u = 0. И тогда p_fit одна для всех линий тока.

Граничные условия для решения (2) – (4):

$\left\{\begin{array}{l}\underset{r\to 0}{\lim }\left\{u_r\left(r, z\right), u_z\left(r, z\right), p\left(r, z\right)\right\}=\left\{\mathrm{0,} \frac{D}{z}, p_{fit}-\frac{D^2{\rho }_0}{2z^2}\right\},\\ \underset{z\to \infty }{\lim }\left\{u_x\left(r, z\right), u_z\left(r, z\right), p\left(r, z\right)\right\}=\left\{\mathrm{0,} \mathrm{0,} p_{fit}\right\}.\end{array}\right.$ (6)

Уравнение движения для частицы

Теперь выпишем уравнение движения для частицы порошка:

$m_p\frac{d}{dt}v=F_D$, (7)

где v — вектор скорости частицы, m_p — масса частицы. Сила Стокса

$F_D=6\pi \eta r_p\Phi \left(u-v\right)$, (8)

где r_p — радиус частицы, которая предполагается сферической, Φ — коэффициент, учитывающий поправки, зависящие от чисел M, Re, Kn [5–7].

Отметим, что сила (8), линейная по скорости, корректно описывает движения частиц при малых числах Рейнольдса. Оценку числа Рейнольдса для нашей задачи проведем ниже.

Перепишем (7) для удобства в цилиндрической системе координат:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{1}{{\tau }_p}\left(u_r-\frac{dr}{dt}\right),\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{1}{{\tau }_p}\left(u_z-\frac{dz}{dt}\right),\end{array}\right.$ (9)

где u_r, u_z представлены формулами (2) и было введено характерное время для частицы согласно

${\tau }_p=\frac{2}{9\Phi }\frac{r_p^2{\rho }_p}{\eta }$, (10)

где плотность частицы ${\rho }_p=m_p/\left(\frac{4\pi }{3}{r}_p^3\right)$.

Характерные величины. Свойство газа-носителя и частиц порошка

Введем следующие характерные для процесса прямого лазерного выращивания величины: L₀ — характерная длина, V₀ — характерная скорость, T₀ = L₀ / V₀ — характерное время.

Величине L₀ = 1 см будет соответствовать характерное расстояние от выхода из трубочки до рабочей зоны выращивания, а величине V₀ = 10³ см/с — скорость потока газа-носителя на выходе из трубочки в направлении оси z. Таким образом, T₀ = 10^–3 с.

Характерный радиус трубочки r₀ = 10^–1. Характерное давление на выходе из трубочки P₀ = 2 · 10⁵ Па = 2 · 10⁶ г / см · с².

В качестве газа-носителя выберем аргон. Тогда при T = 300 К и p = P₀ имеем: ρ_g = 1,6 · 10^–3 г/см³ — плотность, η_g = 2,23 · 10^–4 г/см · с — динамическая вязкость.

Отсюда характерные значения полного потока массы (3) $Q_0={\rho }_g{V}_0\pi r_0^2=5\cdot {10}^{-2} г/с$ и величины $D_0=\frac{Q_0}{2\pi {\rho }_g{r}_0}=\frac{V_0{r}_0}{2}=0.5\cdot {10}^2 с{м}^2/с$.

В качестве материала для частиц порошка выберем сталь, типичные значения параметров которой равны: r_p = 10^–2 см — средний радиус, ρ_p = 7,8 г/см³ — плотность.

Определив различные масштабы задачи, можно оценить числа Рейнольдса.

Отметим, что число Рейнольдса для газа внутри трубочки Re_in = ρ_gV₀r₀ / η_g = 0,7 · 10³, т.е. поток носит промежуточный характер — где-то турбулентный, где-то ламинарный.

Для области между соплом и подложкой имеем Re_out = ρ_gV₀L₀ / η_g = 7 · 10³, т.е. также имеем промежуточный характер для потока.

Рассчитаем число Рейнольдса для частицы в потоке газа-носителя: Re_p = ρ_gV₀r_p / η_g = 0,7 · 10². Таким образом, Re_p ≤ 10². Это означает, что происходит ламинарное обтекание частицы. Что оправдывает использование силы Стокса в (7), пропорциональной первой степени скорости.

Безразмерные уравнения

Перепишем нужные нам уравнения в безразмерном виде, выразив все величины в единицах (L₀, V₀, T₀, P₀, D₀).

Для поля скоростей идеальной жидкости и давления имеем

$\left\{\begin{array}{l}{\tilde{u}}_r\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)=\frac{1}{\tilde{z}}\frac{\delta \cdot \tilde{D}}{\xi \sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right),\\ {\tilde{u}}_z\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)=\frac{1}{\tilde{z}}\frac{\delta \cdot \tilde{D}}{\sqrt{1+{\xi }^2}},\end{array}\right.$ (2΄)

$\tilde{p}\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)={\tilde{p}}_{fit}-\frac{B}{{\tilde{z}}^2}\frac{{\delta }^2\cdot {\tilde{D}}^2}{{\xi }^2\sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right)$, (4΄)

где $\left({\tilde{u}}_r=\frac{u_r}{V_0}, {\tilde{u}}_z=\frac{u_z}{V_0}\right)$, $\tilde{p}=\frac{p}{P_0}, {\tilde{p}}_{fit}=\frac{p_{fit}}{P_{0 }}$, $\left(\tilde{r}=\frac{r}{L_0}, \tilde{z}=\frac{z}{L_0}\right)$ и введены следующие безразмерные величины: $\tilde{D}=\frac{D}{D_0}=\frac{2D}{V_0{r}_0}$, $B=\frac{{\rho }_g{V}_0^2}{P_{0 }}=0.8\cdot {10}^{-3}$, $\delta =\frac{r_0}{2L_0}$.

Уравнение движения для частицы порошка примет следующий вид:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^2\tilde{r}}{d{\tilde{t}}^2}=\gamma \left({\tilde{u}}_r-\frac{d\tilde{r}}{d\tilde{t}}\right),\\ \frac{d^2\tilde{z}}{d{\tilde{t}}^2}=\gamma \left({\tilde{u}}_z-\frac{d\tilde{z}}{d\tilde{t}}\right),\end{array}\right.$ (9΄)

где $\tilde{t}=t/T_0$ — безразмерное время и $\gamma =\frac{T_0}{{\tau }_p}=\frac{9}{2}\frac{\eta L_0}{V_0{r}_p^2{\rho }_p}\Phi =\left(1.25\cdot {10}^{-3}\right)\Phi$.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Поле скоростей газа-носителя

Вначале построим линии тока векторного поля $\tilde{u}\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)=\left({\tilde{u}}_r\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right), {\tilde{u}}_z\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)\right)$, где $\tilde{x}\equiv \tilde{r}$.

Будем считать, что трубочка представляет собой диффузор, т.е. $\tilde{D}>0$. В этом случае поток движется вдоль оси z (${\tilde{u}}_z>0$) и линии тока расходятся от нее (${\tilde{u}}_r>0$).

Для исключения расходимости начало отсчета по оси струи сместим вглубь трубочки: $\tilde{z}\to \tilde{z}+a$, где a > 0.

Пусть газ-носитель вырывается из трубочки радиусом ${\tilde{r}}_0=0.15$. Расстояние от трубочки до рабочей поверхности равно $\left({\tilde{z}}_2-{\tilde{z}}_1\right)=3$, где ${\tilde{z}}_1=0$ — координата выхода газа из трубочки, а значение ${\tilde{z}}_2=3$ соответствует рабочей поверхности.

Выберем следующие значения коэффициентов: $\tilde{D}=10$, δ = 0,05.

На рис. 1 построен график поля скоростей газа-носителя.

 

Рис. 1. Векторное поле скоростей газа-носителя $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{u}}\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)$.

Fig. 1. Vector field of carrier gas velocities $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{u}}\mathbf{(}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}\mathbf{,}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{z}}\mathbf{)}$.

 

Значение скорости газа на оси на выходе из трубочки равно $\left({\tilde{u}}_r\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_1\right)=\mathrm{0,} {\tilde{u}}_z\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_1\right)=0,5\right)$, а на рабочей поверхности — $\left({\tilde{u}}_r\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_2\right)=\mathrm{0,} {\tilde{u}}_z\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_2\right)=0,125\right)$, т. е. компонента скорости ${\tilde{u}}_z$ уменьшается.

Траектории частиц

Теперь рассмотрим траектории частиц порошка, вылетающих из трубочки.

На рис. 2, а показаны траектории частиц с разными начальными значениями поперечной координаты ${\tilde{x}}_1$: ±0,15 — зеленые линии, ±0,1 — синие линии, ±0,05 — красные линии. Начальные скорости частиц совпадают со скоростью самого потока на выходе из трубочки — $v\left(t=0\right)=u\left({\tilde{x}}_1, {\tilde{z}}_1=0\right)\equiv u\left({\tilde{x}}_1\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.05\right)=\left(\mathrm{0.012,} 0.499\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.1\right)=\left(\mathrm{0.024,} 0.497\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.15\right)=\left(\mathrm{0.036,} 0.494\right)$.

 

Рис. 2. Траектории частиц порошка, вылетающих из трубочки: a — разные начальные значения поперечной компоненты ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ и соответствующие скорости; b — разные начальные значения поперечной компоненты ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ и одинаковые начальные скорости.

Fig. 2. Powder trajectories for particles ejected from a tube. a, different initial values of the transverse component ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ and corresponding velocities; b, different initial values of the transverse component ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ and the same initial velocities.

 

Траектории частиц естественным образом повторяют расширяющуюся трубку тока.

На рис. 2, b построены траектории частиц с теми же начальными координатами, что и на рис. 2, a, но начальные скорости у всех частиц одинаковы и равны $v\left(t=0\right)=u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.05\right)=\left(\mathrm{0.012,} 0.499\right)$.

Такое одинаковое задание начальных скоростей частиц, ведущее к меньшему разбросу поперечной компоненты скорости, обеспечивает лучшую фокусировку пучка.

Для всех расчетов величина Φ [см. текст после формулы (9΄)] бралась равной единице [5].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе с помощью аналитического решения уравнения Эйлера исследована зависимость траекторий частиц порошка от распределения скорости газа-носителя на выходе из трубочки.

Для частиц порошка были выбраны параметры, типичные для стали, а газ-носитель представлен аргоном. Результаты расчетов показали естественное, с поправкой на силу Стокса, совпадение траекторий частиц с линиями тока газа-носителя. Показана зависимость расходимости пучка частиц от распределения поперечной компоненты скорости газа на выходе из трубочки.

Для понимания возможности дальнейшего обобщения используемого подхода на систему трубочек необходимо провести сравнения с численными расчетами, а также с некоторыми экспериментальными данными.

Возможно, будет необходимо задействовать аналитическое решение Ландау для уравнения Навье – Стокса [2, 3], а также выйти за рамки приближения Стокса в уравнении движения для частиц. На это косвенно указывает как оцененное выше значение числа Рейнольдса Re_out = 7 · 10³ [8], так и предварительные расчеты, дающие очень слабую зависимость траектории частицы от ее размера.

В конце отметим, что нами уже применялся аналитический подход, связанный с затопленной струей Ландау [9, 10], позволивший качественно описать плазменный факел при лазерной сварке с глубоким проплавлением.

Однако, возвращаясь к оценкам числа Рейнольдса и учитывая ограниченность пространства, добавим, что количественное описание рассматриваемых процессов, скорее всего, возможно только при использовании стохастических уравнений гидродинамики [1, 11, 12].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, разработку физической и математической модели и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Источники финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовались.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали один рецензент, член редакционной коллегии и научный редактор издания.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contributions: All authors made substantial contributions to the conceptualization, calculation of a physical and mathematical model, and manuscript preparation and reviewed and approved the final version prior to publication.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The authors have no relationships, activities, or interests for the last three years related to for-profit or not-for-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Provenance and peer review: This paper was submitted unsolicited and reviewed following the standard procedure. The peer review process involved one reviewer, a member of the editorial board, and the in-house scientific editor.

About the authors

Dmitriy V. Mukin

Institute of Laser and Welding Technologies of the Saint Petersburg State Marine Technical University

Author for correspondence.
Email: mukin@ilwt.smtu.ru
SPIN-code: 7660-7455

Specialist

Russian Federation, 38a, Marshal Zhukov Ave., Saint Petersburg, 198262

Nikolay V. Larionov

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: larionov.nickolay@gmail.com
SPIN-code: 7181-9757

Cand. Sci. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of the Department of Physics

Russian Federation, 3, Lotsmanskaya St., Saint Petersburg, 190121

Vasily M. Molchanovsky

Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: molchanovskiy@gmail.com
SPIN-code: 2618-9594

Assistant at the Department of Physics

Russian Federation, 3, Lotsmanskaya St., Saint Petersburg, 190121

Ilya N. Yudin

Institute of Laser and Welding Technologies of the Saint Petersburg State Marine Technical University

Email: youdin@ilwt.smtu.ru
SPIN-code: 3877-3528

Specialist

Russian Federation, 38a, Marshal Zhukov Ave., Saint Petersburg, 198262

References

Supplementary files