Scroll profiling for refrigeration scroll compressors

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Главным элементом холодильной установки, обеспечивающим её работу, является холодильный компрессор. В настоящее время в холодильной технике в бытовых и транспортных кондиционерах, тепловых насосах, холодильных машинах малой и средней мощности часто используются спиральные компрессора. Они обладают высоким коэффициентом подачи, малой шумностью, высокой уравновешенностью и рядом других преимуществ [1, 2].

Основными элементами спирального компрессора являются две спирали – подвижная и неподвижная, эксцентриковый вал, и противоповоротное устройство, обеспечивающее плоскопараллельное движение подвижной спирали.

При проектировании спирального компрессора наибольшую трудность представляет профилирование спирали. Литературный поиск показал недостаточность информации о профилировании спиралей, полноценного описания построения и зависимостей для расчёта площадей и объёмов парных ячеек, необходимых для профилирования, а в имеющихся литературных источниках присутствуют ошибки и неточности. Целью данной работы является восполнение не достающей информации по указанному вопросу.

На рынке представлены компрессоры со спиралями, построенными на основе самых разнообразных кривых. Основными являются однозаходные спирали на основе эвольвенты окружности, спирали Архимеда и кусочно-окружная спираль [3], но можно так же встретить спирали на основе эвольвенты треугольника и квадрата, сшитые из большого количества дуг окружностей разного радиуса и многие другие.

ПРИНЦИП РАБОТЫ СПИРАЛЬНОГО КОМПРЕССОРА

На рис. 1 показано зацепление подвижной и неподвижной спиралей при угле поворота вала компрессора, равном нулю, то есть при окончании процесса всасывания. Система координат XY связана с неподвижной спиралью, система X_пY_п – с подвижной. Подвижная спираль вместе со своей системой координат X_пY_п движется относительно неподвижной плоскопараллельно, совершая орбитальное движение по окружности радиусом, равным эксцентриситету эксцентрикового конца вала, на который надета подвижная спираль. Повороту подвижной спирали препятствует противоповоротное устройство.

 

Рис. 1. Зацепление спиралей и полости сжатия.

Fig. 1. Spiral engagement and the spaces of compression.

 

Между спиралями образуются попарно равные замкнутые объемы, парные полости 3, 2, 1. При движении спирали точки контакта двигаются по спирали, сохраняя герметичное разделение парных полостей друг от друга. При этом газ движется по спирали от периферии в центр.

КУСОЧНО-ОКРУЖНАЯ СПИРАЛЬ

Построение профиля спирали происходит следующим образом:

Задаются прямоугольной декартовой системой координат ОХУ на плоскости. На оси Х расположены вспомогательные точки O₁, О₂, N₁, N₂ (см. рис. 2), из которых проводится серия полуокружностей. Точка N₁ необходима только для построения торцевой полуокружности радиусом R₁ в начале спирали. Точка N₂ используется для построения только полуокружности радиусом R₂, относящейся к внутренней поверхности спирали и лежащей ниже оси Х. Остальные полуокружности проводятся из точек О₁ и О₂, причем из О₁ – верхние полуокружности (выше оси X), из О₂ – нижние полуокружности (ниже оси X). Нечетный индекс радиусов R относится к наружной поверхности спирали, четный – к внутренней. Начало системы координат (точка O) устанавливается в центр отрезка О₁О₂.

 

Рис. 2. Построение кусочно-окружной спирали.

Fig. 2. Piecewise circular spiral plotting.

 

Длина отрезка О₁О₂ определяется как сумма величин эксцентриситета и толщины ребра спирали:

$O_1{O}_2=\left(\epsilon +\delta \right)$.

Здесь и далее δ – толщина ребра спирали на участках с радиусами R₄ , R₅ и больше; ε – эксцентриситет между спиралями.

Толщина начального участка спирали обычно делается несколько больше (предположительно из соображений прочности). Расстояние между точками N₁ и О₁ выбирается равным расстоянию между точками N₂ и О₂ и определяется как четверть толщины ребра:

$NO=0.25\delta$.

Радиусы полуокружностей каждые пол-оборота угла закрутки увеличиваются на фиксированную величину, равную расстоянию между их центрами (О₁О₂). Используя непрерывную функцию целой части числа, можно задать ступенчатую функцию изменения радиуса внутренней поверхности ребра спирали:

$R\left(\phi \right)=\mathrm{trunc}\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)\cdot \left(\epsilon +\delta \right)$.

Здесь и далее φ – мгновенный угол закрутки спирали; trunc(x) – функция целой части числа.

Радиус первой полуокружности внутренней поверхности ребра спирали не подчиняется этому закону. Он меньше на 0.25δ. Тогда функцию радиуса внутренней поверхности можно записать через функцию Хэвисайда:

$R_{вн}\left(\phi \right)=R\left(\phi \right)-0.25\delta \cdot \left(1-\theta \left(\phi -\pi \right)\right)=\mathrm{trunc}\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)\cdot \left(\epsilon +\delta \right)-0.25\delta \cdot \left(1-\theta \left(\phi -\pi \right)\right)$

где θ(x) – функция Хэвисайда:

$\theta \left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0,} x<0\\ \mathrm{1,} x\ge 0\end{array}\right.$.

Все радиусы внешней поверхности ребра спирали, кроме первого, равны соответствующим радиусам внутренней поверхности, увеличенным на толщину ребра. Их уравнение примет вид:

$R_{н}\left(\phi \right)=R\left(\phi \right)+\delta = trunc\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)\cdot \left(\epsilon +\delta \right)+\delta$.

Для определения координат точек спирали необходимо учесть, что различные полуокружности строятся из различных центров. Для этого необходимо задать функцию смещения. Также, как и радиус, смещение меняется каждые пол-оборота угла закрутки. Её можно записать по подобию знакопеременных рядов. Оба центра находятся на оси X, поэтому смещение будет только для проекции на эту ось:

$\text{Δ}x\left(\phi \right)=\frac{1}{2}{O}_1{O}_2\cdot {\left(-1\right)}^{\mathrm{trunc}\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)}$.

Смещение центра первой полуокружности внутренней поверхности ребра спирали не подчиняется этому закону. Оно больше на NO. С учётом этого отличия функцию смещения для внутренней поверхности ребра спирали можно выразить через функцию Хэвисайда:

$\text{Δ}{x}_{\text{вн}}\left(\phi \right)=\text{Δ}x\left(\phi \right)-NO\cdot \left(1-\theta \left(\phi -\pi \right)\right)=\frac{1}{2}\left(\epsilon +\delta \right)\cdot {\left(-1\right)}^{\mathrm{trunc}\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)}-0.25\delta \cdot \left(1-\theta \left(\phi -\pi \right)\right)$.

Смещение всех центров полуокружностей наружной поверхности ребра подчиняется общему закону, поэтому записывается в виде:

$\text{Δ}{x}_{\text{н}}\left(\phi \right)=\text{Δ}x\left(\phi \right)=\frac{1}{2}\left(\epsilon +\delta \right)\cdot {\left(-1\right)}^{\mathrm{trunc}\left(\frac{\phi +\pi }{\pi }\right)}$.

Параметрические уравнения поверхностей ребра спирали имеют общий вид:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i\left(\phi \right)=R_i\left(\phi \right)\cdot \cos \left(\phi \right)+\Delta x_i\left(\phi \right)\\ y_i\left(\phi \right)=R_i\left(\phi \right)\cdot \sin \left(\phi \right) \end{array}\right.$

где индексом i обозначены величины, относящиеся к внутренней или внешней поверхности одновременно.

Геометрия спирали определяется толщиной и высотой ребра спирали, а также эксцентриситетом между подвижной и неподвижной спиралями. Для удобства расчёта переходят к относительным величинам: относительной высоте ребра спирали и относительному эксцентриситету, равным отношению действительных величин к толщине ребра спирали.

Анализ некоторых известных конструкций показал, что отношение высоты к толщине ребра может быть принято в диапазоне 4...8 [4] из соображений прочности и недопущения больших изгибов стенок ребра спирали. Значение при больших объёмах полостей всасывания и для черных металлов материала спиралей выбирается больше, а для пластмасс и для СПК меньшей производительности с большим перепадом давлений между парными ячейками (на разных сторонах стенки спирали) – меньше [4]. Кроме того, отношение высоты к толщине спирали следует выбирать таким образом, чтобы было удобно в дальнейшем изменять значение толщины спирали, подбирая более оптимальное технологичное значение, например, чтобы значение толщины ребра спирали не имело сотых и тысячных долей миллиметра.

В настоящее время производятся компрессоры со значениями относительной высоты ребра спирали больше, чем в указанных выше рекомендациях. Так, например, спиральные компрессоры модели HLM068 компании Scroll Technologies имеют высоту ребра спирали в 10 раз превышающую его толщину.

Относительный эксцентриситет [5] в первую очередь является функцией степени сжатия, при стремится к 2, при высоких степенях сжатия – к 1.

Поскольку зазоры в спиральном блоке должны исчисляться единицами микрон, то все основные поверхности, а также толщины и высоты спиралей должны быть выполнены с точностью до единиц микрон. В этом случае основные геометрические размеры спиралей могут быть назначены также с точностью до единиц микрон, но это несколько неудобно и повышает возможность ошибок при производстве, т.е. при настройке оборудования, фрезеровании и осуществлении контроля размеров. Удобнее, если основные размеры будут целочисленными в миллиметрах или с точностью до десятых долей миллиметра. Для этого проводится итерационный подбор основных размеров спиралей так, чтобы при этом объемная подача компрессора не отличалась от заданной более чем на принятую величину.

Все параметры спирали привязаны к толщине ребра, поэтому в первом приближении полностью определяют толькоеё согласно [5]:

${\delta }_1=\sqrt[3]{\frac{W_{пн}}{4\pi \cdot \overline{h}\cdot \overline{\epsilon }\cdot \left(\pi \cdot \overline{\epsilon }+1\right)}}$,

где $W_{пн}$– объём полости нагнетания.

Угол закрутки спирали ${\Theta }_{п}$– угол, который пройдет радиус-вектор, проведенный из начала неподвижной системы координат, при движении по спирали от начала до конца.

В настоящее время на рынке представлены компрессоры с достаточно большим углом закрутки спирали (больше 6ð), однако рекомендации по его выбору были найдены только в [4].

На рис. 3 показано зацепление кусочно-окружных спиралей в момент окончания всасывания. Штриховкой обозначена площадь пары ячеек всасывания, вычисляемая по следующей формуле:

$F_{\text{вс.ко}}=2\left(2{\Theta }_{п}-\pi \right)\left(\delta +\epsilon \right)\epsilon -2\pi {\epsilon }^2$.

Полезный объём двух ячеек всасывания определяется согласно:

$W_{\text{п.ко}}=F_{\text{вс.ко}}\cdot h=2h\left[\left(2{\Theta }_{п}-\pi \right)\left(\delta +\epsilon \right)\epsilon -\pi {\epsilon }^2\right]$.

Приводя его к зависимости от толщины ребра и относительных величин, получим итоговую формулу для объёма ячеек всасывания:

$W_{\text{п.ко}}=2\cdot {\delta }^3\cdot \overline{h}\cdot \left[\left(2{\Theta }_{п}-\pi \right)\left(1+\overline{\epsilon }\right)\overline{\epsilon }-\pi \cdot {\overline{\epsilon }}^2\right]$.

 

Рис. 3. Зацепление кусочно-окружных спиралей.

Fig. 3. Piecewise circular spiral engagement.

 

Данная формула позволяет подбирать геометрию кусочно-окружной спирали, зная требуемую объёмную подачу компрессора.

ЭВОЛЬВЕНТНАЯ СПИРАЛЬ

В общем случае (рис. 4) эволютой кривой $\text{γ}$ называется кривая $\overline{\text{γ}}$, представляющая собой множество всех центров кривизны кривой $\text{γ}$. В свою очередь, если кривая $\overline{\text{γ}}$ является эволютой для кривой $\text{γ}$, то сама кривая $\text{γ}$называется эвольвентой кривой $\overline{\text{γ}}$.

 

Рис. 4. Примеры эвольвент и эволют.

Fig. 4. Examples of involutes and evolutes.

 

В качестве образующей кривой спирали компрессора применяется эвольвента окружности (рис. 5). Наиболее просто ее можно определить, как траекторию точки B (для внутренней поверхности и точки B’ для наружной поверхности спирали) прямой AB, при перекатывании этой прямой по окружности радиусом R без проскальзывания. Данную прямую называют производящей, а окружность – основной.

 

Рис. 5. Эвольвентная спираль.

Fig. 5. Involute spiral.

 

Построение эвольвенты окружности показано на рис. 6.

 

Рис. 6. Построение эвольвенты окружности.

Fig. 6. Plotting of an involute to a circle.

 

Из рис. 6 видно, что координаты точки эвольвенты складываются из проекций двух отрезков: OA и AB. Параметрические уравнения эвольвенты окружности записываются в виде:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\cdot \cos \left(\phi \right)+L\cdot \sin \left(\phi \right)\\ y\left(\phi \right)=R\cdot \sin \left(\phi \right)-L\cdot \cos \left(\phi \right)\end{array}\right.$.

Прямая перекатывается по окружности без проскальзывания, поэтому длина L отрезка AB все время увеличивается и равна длине дуги, пройденной этой прямой. Длина дуги L=Rφ, поэтому:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\cdot \cos \left(\phi \right)+R\cdot \phi \cdot \sin \left(\phi \right)\\ y\left(\phi \right)=R\cdot \sin \left(\phi \right)-R\cdot \phi \cdot \cos \left(\phi \right)\end{array}\right.$.

Для обеспечения постоянства толщины ребра спирали необходимо, чтобы его наружная поверхность была эквидистантна внутренней. Эквидистанта кривой – это линия, равноотстоящая от этой кривой. Радиус кривизны кривой всегда нормален этой кривой, поэтому все радиусы кривизны эквидистанты и будут отличаться от радиусов кривизны базовой кривой на одно и то же число.

По свойству эвольвенты окружности её радиус кривизны в точке равен отрезку AB производящей прямой, соединяющему данную точку эвольвенты и точку на основной окружности, поэтому для получения уравнения эквидистанты к эвольвенте окружности необходимо увеличить длину отрезка AB на константу:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\cdot \cos \left(\phi \right)+\left(R\cdot \phi +\delta \right)\cdot \sin \left(\phi \right)\\ y\left(\phi \right)=R\cdot \sin \left(\phi \right)-\left(R\cdot \phi +\delta \right)\cdot \cos \left(\phi \right)\end{array}\right.$

R – радиус начальной окружности, определяемый как [4]:

$R=\frac{\epsilon +\delta }{\pi }$.

На рис. 7 показано зацепление эвольвентных спиралей в момент окончания всасывания. Штриховкой обозначена площадь пары ячеек всасывания, вычисляемая по следующей формуле:

$F_{\text{вс.эв}}=4\epsilon \cdot \left(\delta +\epsilon \right)\cdot \left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right)$.

Полезный объём двух ячеек всасывания:

$W_{\text{п.эв}}=F_{\text{вс.эв}}\cdot h=4h\cdot \epsilon \cdot \left(\delta +\epsilon \right)\cdot \left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right)$.

Приводя к зависимости от толщины ребра и относительных величин получается итоговая формула объёма ячеек всасывания:

$W_{\text{п.эв}}=4{\delta }^3\cdot \overline{h}\cdot \overline{\epsilon }\cdot \left(1+\overline{\epsilon }\right)\cdot \left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right)$.

Данная формула позволяет подбирать геометрию эвольвентной спирали по заданной объёмной подаче компрессора.

 

Рис. 7. Зацепление эвольвентных спиралей.

Fig. 7. Involute spiral engagement. 

 

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Точка, описывающая эвольвенту, в общем случае может не лежать на производящей прямой, но должна быть жёстко связана с ней. При смещении точки с прямой в направлении внутрь окружности (точка W, рис. 8) полученную эвольвенту называют удлинённой, а при смещении наружу (точка L, рис. 8) – укороченной.

 

Рис. 8. Удлинённая и укороченная эвольвенты.

Fig. 8. Elongated and shortened involutes.

 

Частным случаем удлинённой эвольвенты является спираль Архимеда. Она образуется при смещении точки W в направлении внутрь окружности, на расстояние равное радиусу основной окружности (рис. 9).

 

Рис. 9. Спираль Архимеда.

Fig. 9. Archimedian spiral.

 

Построение спирали Архимеда показано на рис. 10.

 

Рис. 10. Построение спирали Архимеда.

Fig. 10. Archimedian spiral plotting.

 

По рисунку 10 видно, что координаты точки спирали Архимеда складываются из проекций трёх отрезков: OA, AB и BW. Параметрические уравнения спирали Архимеда имеют вид:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\cdot \cos \left(\phi \right)+L\cdot \sin \left(\phi \right)-BW\cdot \cos \left(\phi \right)\\ y\left(\phi \right)=R\cdot \sin \left(\phi \right)-L\cdot \cos \left(\phi \right)-BW\cdot \sin \left(\phi \right)\end{array}\right.$.

Смещение BW равно радиусу начальной окружности, поэтому:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=L\cdot \sin \left(\phi \right) \\ y\left(\phi \right)=-L\cdot \cos \left(\phi \right)\end{array}\right.$.

Как и в случае эвольвенты, прямая перекатывается по окружности без проскальзывания, поэтому длина L отрезка AB равна длине дуги, пройденной этой прямой. Длина дуги L = Rφ, поэтому:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\cdot \phi \cdot sin\left(\phi \right) \\ y\left(\phi \right)=-R\cdot \phi \cdot cos\left(\phi \right)\end{array}\right.$

Независимо от типа спирали внешняя поверхность её ребра должна быть эквидистантна внутренней. Для получения уравнений внешней поверхности ребра спирали Архимеда используется тот же подход, что и для эвольвентной спирали.

Из рис. 11 видно, что координаты точки эквидистанты к спирали Архимеда складываются из проекций пяти отрезков: OA, AB, BB’, B’B’’ и B’’W’. Отрезок B’B’’ равен отрезку BW и, соответственно, отрезку OA, поэтому из проекций пяти отрезков останется только три – AB, BB’ и B’’W’:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\phi \cdot \sin \left(\phi \right)+B{B}^{\text{'}}\cdot \sin \left(\phi \right)-B^{\text{'}\text{'}}{W}^{\text{'}}\cdot \cos \left(\phi \right) \\ y\left(\phi \right)=-R\phi \cdot \cos \left(\phi \right)-B{B}^{\text{'}}\cdot \cos \left(\phi \right)-B^{\text{'}\text{'}}{W}^{\text{'}}\cdot \sin \left(\phi \right)\end{array}\right.$

Радиус кривизны внутренней спирали равен отрезку AW, длина которого определяется следующим выражением:

$AW=\sqrt{A{B}^2+B{W}^2}=\sqrt{R^2{\phi }^2+R^2}=R\cdot \sqrt{1+{\phi }^2}$.

Угол между производящей прямой и радиусом кривизны спирали Архимеда:

$\alpha =\text{arctg}\left(\frac{BW}{AB}\right)=\text{arctg}\left(\frac{R}{R\phi }\right)=\text{arctg}\left(\frac{1}{\phi }\right)$.

Длины отрезков производящей прямой и смещения записываются через проекции отрезка AW следующим образом:

$\begin{array}{c}AB=AW\cdot \cos \left(\alpha \right)\\ BW=AW\cdot \sin \left(\alpha \right)\end{array}$

Расстояние между спиралью Архимеда и эквидистантой к ней:

$W{W}^{\text{'}}=\delta$.

Тогда отрезки производящей прямой и смещения увеличатся на величину:

$\begin{array}{c}B{B}^{\text{'}}=W{W}^{\text{'}}\cdot \cos \left(\alpha \right)=\delta \cdot \cos \left(\alpha \right)\\ B^{\text{'}\text{'}}{W}^{\text{'}}=W{W}^{\text{'}}\cdot \sin \left(\alpha \right)=\delta \cdot \sin \left(\alpha \right)\end{array}$

Синус и косинус угла между производящей прямой и радиусом кривизны спирали Архимеда:

$\begin{array}{c}\cos \left(\alpha \right)=\frac{AB}{AW}=\frac{R\phi }{R\cdot \sqrt{1+{\phi }^2}}=\frac{\phi }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\\ \sin \left(\alpha \right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(\alpha \right)}=\frac{1}{\sqrt{1+{\phi }^2}}\end{array}$.

Тогда увеличения отрезков производящей прямой и смещения запишутся в виде:

$\begin{array}{c}B{B}^{\text{'}}=\delta \cdot \cos \left(\alpha \right)=\delta \cdot \frac{\phi }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\\ B^{\text{'}\text{'}}{W}^{\text{'}}=\delta \cdot \sin \left(\alpha \right)=\delta \cdot \frac{1}{\sqrt{1+{\phi }^2}}\end{array}$.

Итоговые параметрические уравнения эквидистанты к спирали Архимеда примут вид:

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\phi \cdot \sin \left(\phi \right)+\delta \cdot \frac{\phi }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \sin \left(\phi \right)-\delta \cdot \frac{1}{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \cos \left(\phi \right) \\ y\left(\phi \right)=-R\phi \cdot \cos \left(\phi \right)-\delta \cdot \frac{\phi }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \cos \left(\phi \right)-\delta \cdot \frac{1}{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \sin \left(\phi \right)\end{array}\right.$

или

$\left\{\begin{array}{c}x\left(\phi \right)=R\phi \cdot \sin \left(\phi \right)+\frac{\delta }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \left(\phi \cdot \sin \left(\phi \right)-\cos \left(\phi \right)\right) \\ y\left(\phi \right)=-R\phi \cdot \cos \left(\phi \right)-\frac{\delta }{\sqrt{1+{\phi }^2}}\cdot \left(\phi \cdot \cos \left(\phi \right)+\sin \left(\phi \right)\right)\end{array}\right.$.

 

Рис. 11. Построение эквидистанты к спирали Архимеда.

Fig. 11. Equidistant of an Archimedian spiral plotting.

 

Радиус начальной окружности R определяется по той же формуле, что и для эвольвентной спирали.

На рис. 12 показано зацепление спиралей Архимеда в момент окончания всасывания. Штриховкой обозначена площадь пары ячеек всасывания, вычисляемая по следующей формуле:

$F_{вс.ар}=4{\left(\delta +\epsilon \right)}^2\left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right) - \delta \cdot \left[l\left({\text{Θ}}_{п}\right)-l\left({\text{Θ}}_{п}-2\pi \right)+l\left({\text{Θ}}_{п}-\pi \right)-l\left({\text{Θ}}_{п}-3\pi \right)\right]$,

где $l\left(\phi \right)$– длина дуги спирали Архимеда от начала до угла закрутки :

$l\left(\phi \right)=\frac{1}{2}R\cdot \left[\ln \left(\phi +\sqrt{1+{\phi }^2}\right)+\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}\right]$.

Полезный объём двух ячеек всасывания:

$W_{\text{п.ар}}=F_{\text{вс.ар}}\cdot h=h\cdot \left\{4{\left(\delta +\epsilon \right)}^2\left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right) - \delta \cdot \left[l\left({\text{Θ}}_{п}\right)-l\left({\text{Θ}}_{п}-2\pi \right)+l\left({\text{Θ}}_{п}-\pi \right)-l\left({\text{Θ}}_{п}-3\pi \right)\right]\right\}$.

Приводя к зависимости от толщины ребра и относительных величин, получается итоговая формула для объёма ячеек всасывания:

$W_{\text{п.ар}}={\delta }^3\cdot \overline{h}\cdot \left\{4{\left(1+\overline{\epsilon }\right)}^2\left({\text{Θ}}_{п}-\frac{3}{2}\pi \right) - \left[\overline{l}\left({\text{Θ}}_{п}\right)-\overline{l}\left({\text{Θ}}_{п}-2\pi \right)+\overline{l}\left({\text{Θ}}_{п}-\pi \right)-\overline{l}\left({\text{Θ}}_{п}-3\pi \right)\right]\right\}$,

где $\overline{l}\left(\phi \right)$– относительная длина дуги спирали Архимеда, определяемая следующим выражением:

$\overline{l}\left(\phi \right)=\frac{1+\overline{\epsilon }}{2\pi }\left[\ln \left(\phi +\sqrt{1+{\phi }^2}\right)+\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}\right]$.

 

Рис. 12. Зацепление спиралей Архимеда.

Fig. 12. Archimedian spiral engagement.

 

Данная формула позволяет определять геометрию спирали Архимеда по заданной объёмной подаче компрессора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В литературе достаточно мало информации по профилированию спиралей, а в имеющихся литературных источниках присутствуют ошибки или неточности.

В настоящей работе представлено описание построения, а также основные математические зависимости, позволяющие производить расчёт объёма полостей всасывания компрессора и основных геометрических параметров кусочно-окружной спирали, эвольвентной спирали и спирали Архимеда.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Источник финансирования. Статья не имеет спонсорской поддержки.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов, связанного с подготовкой и публикацией статьи.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. All authors made an important contribution to the conceptual development, research, and preparation of this article and read and approved the final version before publication.

Competing interests. The author declares no transparent and potential conflicts of interest related to this article’s publication.

Funding source. This article is not sponsored.

About the authors

Anton A. Zharov

Bauman Moscow State Technical University

Email: zharov_a@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-9945-0850
SPIN-code: 8581-1809

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Artem V. Borisenko

Bauman Moscow State Technical University

Email: borart@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-4818-3702
SPIN-code: 2859-5006

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Anna V. Valiakina

Bauman Moscow State Technical University

Email: valiakina@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-7709-1209
SPIN-code: 7679-2022

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Sergey V. Pochatkov

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: Pochatkov_SV@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6218-3859
SPIN-code: 1982-9348
Russian Federation, Moscow

Michael V. Makarov

Bauman Moscow State Technical University

Email: makarov.mischa@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5419-1680
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files