Verified calculation of compression process in a scroll compressor

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время спиральные компрессоры широко используются для систем кондиционирования, а также в тепловых насосах, о чем свидетельствуют многочисленные патенты и исследования [1-11]. Это обусловлено, в частности, таким преимуществами данного вида машин, как, например, низкий уровень шума, возникающий при работе компрессора [12], высокая энергетическая эффективность, которая на ряду с эффективностью теплообменников холодильных машин [13] играет важную роль в энергетической эффективности всей холодильной машины [14, 15]. Важно отметить, что спиральные машины могут быть также использованы и в детандерном режиме [16].

Одним из начальных этапов проектирования спирального компрессора является проведение теплового и динамического расчетов. Результатом теплового расчета служит определение мощности компрессора, а результатом динамического расчета – определение сил и моментов, действующих на вал компрессора в процессе сжатия. Основой грамотного динамического расчета является создание наиболее точной математической модели геометрии полостей сжатия компрессора и процессов, протекающих в них. Как правило, такие расчеты проводятся в специальных математических программах, позволяющих моделировать сложные зависимости процессов, происходящих в полостях сжатия, включая и нестационарные тепловые потери в процессе сжатия [17].

На сегодняшний день существуют различные методики определения геометрии спиралей [18], процесса сжатия [19–20], сил и моментов [21], возникающих в процессе работы компрессора. Однако, многие из них являются довольно трудоемкими и требуют специального программного обеспечения для проведения аналогичных расчетов самостоятельно. Общей тенденцией таких расчетов является упрощение сложных процессов, происходящих в результате работы компрессора [22–23].

За 35 лет с момента создания первого промышленного образца спирального компрессора японской фирмой Hitachi Ltd [24] многие проблемы, связанные с проектированием спиральной части компрессора, так и не были решены. В частности, проблема определения оптимального угла подрезки спиралей у основания по-прежнему является актуальной, о чем свидетельствуют работы [25]. Так же не теряет значимости проблема определения зависимости изменения давления в полостях сжатия.

Разработанная настоящим авторским коллективом методика использовалась при динамическом расчете цифрового спирального компрессора для теплового насоса холодопроизводительностью 14 кВт, работающего в режиме обогрева. Погрешность расчета оценивалась на основе теплового расчета, проведенного в соответствии с работой [26]. Полученные результаты сравнивались с аналогичными для СПК Copeland ZFD41K5E – TFD.

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование процесса сжатия в спиральном компрессоре происходило в несколько этапов. На первом этапе определялась фактическая степень сжатия в компрессоре и выбиралась геометрическая степень сжатия. В данной работе был смоделирован компрессор для теплового насоса, поэтому геометрическая степень сжатия была принята равной 2,5, так как это стандартная геометрическая степень сжатия для компрессоров такого типа. На втором этапе выполнялся предварительный расчет геометрических размеров спиральных элементов. Данный этап не учитывал профилирование начального участка спирали и нагнетательного окна. Профилем ребра спирали была выбрана спираль Архимеда. Исходя из рекомендаций [24], были выбраны относительная высота ребра спирали, относительный эксцентриситет и относительный диаметр нагнетательного отверстия. Затем, с учетом принятых величин, были рассчитаны толщина ребра спирали δ, величина эксцентриситета e, диаметр нагнетательного отверстия d_н, радиус начальной окружности спирали r₀, шаг спирали t и высота ребра спиралей h. На третьем этапе моделировался профиль ребра спиралей и их взаимное расположение в процессе вращения вала. На четвертом этапе моделировались нагнетательные полости, образованные спиралями, и их параметры. На пятом этапе моделировалось изменение давление, происходящее в полостях сжатия, была построена индикаторная диаграмма компрессора. На шестом этапе были рассчитаны силы и моменты, возникающие в процессе сжатия. В заключении оценивалась погрешность предлагаемой динамической модели.

ГЕОМЕТРИЯ СПИРАЛЕЙ

Проекция поверхностей спиралей компрессора на горизонтальную плоскость представляют собой спирали Архимеда.

Внешняя поверхность неподвижной спирали задается в декартовой прямоугольной системе координат системой уравнений [25]:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1\left(\phi \right)=r_0\phi \cos \left(\phi \right)\\ y_1\left(\phi \right)=r_0\phi \sin \left(\phi \right)\end{array}\right.$ (1)

где φ — угол закрутки спирали, рад.

Уравнение, описывающее внутреннюю поверхность неподвижной спирали, учитывает «сжатие» спирали на толщину ребра δ относительно внешней поверхности.

Внешняя поверхность подвижной спирали задавалась путем добавления величины, учитывающей положение эксцентриситета подвижной спирали относительно центра неподвижной в зависимости от угла поворота вала. Так как подвижная спираль развернута на 180° относительно неподвижной, к углу зактрутки была прибавлена величина π.

Внутренняя поверхность подвижной спирали моделировалась с учетом «сжатия» внешней поверхности подвижной спирали на величину δ.

Далее для удобства работы с тригонометрическими зависимостями был выполнен переход в полярную систему координат.

Затем, необходимо определить начальный и конечный углы закрути спиралей. Угол подрезки спиралей φ_н был определен исходя из трех условий. Первым условием являлась взаимная «проворачиваемость» спиралей друг относительно друга. Это условие было достигнуто путем варьирования угла поворота вала от 0 до 2π и определения минимального радиуса спирали, при котором достигается возможность взаимного передвижения. Вторым условием являлась невозможность перекрытия неподвижной спиралью окна нагнетательного отверстия. Так как нагнетательное отверстие может быть распложено не строго по центру неподвижной спирали, а также может иметь форму отличную от цилиндрической, данное условие было проверено путем геометрического построения. Третье условие заключалось в соответствии геометрической степени сжатия компрессора заданной. Конечный угол закрутки φ_к был определен из условия равенства диаметров спирали. Первый диаметр был получен в результате теплового расчета как деление объема парных ячеек при условии на всасывании W_п, на объем этих ячеек, обусловленный моделированием геометрии спиралей компрессора. Второй диаметр представляет собой сумму двух радиус-векторов внешней поверхности неподвижной спирали с разницей угла закрутки π:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_{\max }=\frac{W_{п}}{2\pi he}+4\delta +e;\\ d_{\max }=r_1\left({\phi }_{к}\right)+r_1\left({\phi }_{к}-\pi \right).\end{array}\right.$ (2)

ПОЛОСТИ СЖАТИЯ

Полости сжатия спирального компрессора являются парными и нумеруются от центра к периферии, полости сжатия представлены на рис. 1. Исходя из геометрии спиралей, объемы полостей в каждой паре равны. Так как спирали подрезаны на угле φ_н, то при определенном угле поворота вала z₁ будет происходить объединение второй и первой полостей. Поэтому была введена дополнительная полость 0, являющаяся суммой первых двух парных полостей. Данная полость существует только от угла поворота вала z₁ до 2π, затем полости разъединяются и существуют отдельно.

 

Рис. 1. Нумерация полостей сжатия.

Fig. 1. Compression chambers numbering.

 

Для определения функций, описывающих изменения объемов парных полостей, необходимо было задать функции изменения углов касания спиралей. Эти углы показывают, где начинается и заканчивается парная полость. Углы касания отстоят друг от друга на 2π. В ходе расчета было принято, что процесс сжатия начинается с закрытия третьей парной полости, следовательно, последним углом касания является φ_к.

Объем парной полости представляет собой произведение высоты ребра спирали h на площадь полости. Изменяющаяся площадь серповидной парной полости была представлена в виде интеграла от квадратов разности радиус-векторов внутренней поверхности неподвижной спирали и внешней поверхности подвижной спирали. Таким образом, зависимость объема третьих парных полостей принимает следующий вид:

$V_3\left(z\right)=h_{ск}\underset{{\phi }_{к}-2\pi -z}{\overset{{\phi }_{к}-z}{\int }}\left(r_{11}{\left(\phi \right)}^2-r_{22}{\left(\phi -\pi ,{\phi }_{к}-z\right)}^2\right)d\phi$.  (3)

Интеграл в (3) учитывает объем двух парных полостей, так как угол интегрирования φ изменяется на 2π. Объем вторых парных полостей и полостей всасывания был представлен аналогично. Объём первой парной полости невозможно описать таким интегралом, так как спирали подрезаны у основания и объем этой полости ограничен углом касания спиралей только с одной стороны. Поэтому объем этой полости был представлен в виде трех слагаемых:

1. интеграл, описывающий изменение объема полости от угла касания спирали до угла подрезки спиралей;
2. интеграл, описывающий изменение объема от угла подрезки спиралей до центра неподвижной спирали;
3. объем нагнетательного отверстия.

Особую сложность представляло задание угла подрезки спиралей φ_сп в виде функции от угла поворота вала. Описание этой зависимости аналитическим методом является довольно громоздким. Поэтому, указанный угол был найден графически, путем изображения подвижной спирали в 12 различных положениях в зависимости от угла поворота вала с разницей в 30°, изменение положения полостей сжатия представлено на рис. 2 (голубым цветом обозначена третья полость, оранжевым – вторая, красным – первая, зеленым – нулевая). Затем была произведена интерполяция полученных значений кубическим сплайном. Таким образом, была получена искомая зависимость.

 

Рис. 2. Изменение положения полостей сжатия за один оборот вала с шагом 30° (π/6).

Fig. 2. Changing the position of compression chambers in one shaft rotation at 30° (n/6) intervals.

 

Объем первой полости определяется зависимостью:

$V_1\left(z\right)=h_{ск}\cdot \left(\underset{{\phi }_{сп}}{\overset{{\phi }_{к}-z-4\pi }{\int }}\left(r_{11}{\left(\phi \right)}^2-r_{22}{\left(\phi -\pi ,{\phi }_{к}-z\right)}^2\right)d\phi +\underset{{\phi }_{н}}{\overset{{\phi }_{сп}}{\int }}\left(r_{11}{\left(\phi \right)}^2\right)d\phi \right)+V_{нк}$. (4)

Каждая полость характеризуется степенью сжатия, являющейся отношением объема полости к начальному объему всасываемого газа. Начальный объем газа был найден из зависимости (3) при угле поворота вала z=0. Графики изменения объемов (a) и степени сжатия в парных полостях (b) в зависимости от угла поворота вала представлены на рис. 3.

 

Рис. 3. Графики изменения объемов (a) и степеней сжатия (b) парных полостей.

Fig. 3. Diagrams of changes in volumes (a) and compression ratios (b) of paired chambers.

 

ДАВЛЕНИЕ

Процесс сжатия в спиральном компрессоре был принят политропным с показателем политропы n. Поэтому изменение давления в процессе сжатия в каждой полости описывается зависимостью:

$p\left(z\right)=p_{вс}\epsilon {\left(z\right)}^n$. (5)

Такой зависимости нельзя придерживаться при описании давления, получаемого при объединении второй и первой полостей. Так как при объединении полостей смешиваются давление, достигнутое во второй полости до объединения, и давление первой полости, равное давлению нагнетания, необходимо было определить установившееся давление в полости 0 сразу после ее образования. Установившееся давление было определено исходя из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$p_{\Sigma }=\frac{m_{\Sigma }}{V_{\Sigma }}R{T}_{\Sigma }$. (6)

При расчете давления было принято, что:

1. температура изменяется по закону политропного процесса;
2. масса газа в третьей и второй полостях одинаковы и равны произведению начального объема третьей полости на плотность газа при условии на всасывании;
3. энергия газа после объединения полостей равна сумме энергий газа во второй и первой полостях до объединения;
4. изобарная теплоемкость газа не меняется в процессе сжатия.

Таким образом, изменение давления в парных полостях было рассчитано следующим образом: давление в третьей полости меняется в соответствии с формулой (5), давление во второй полости до угла z₁ изменяется аналогично, при образовании полости 0, давление в ней меняется скачкообразно на давление, рассчитанное в соответствии с формулой (6), затем сжатие продолжается по политропному закону (5). При повороте вала на 360 градусов происходит разъединение полостей, причем начальный объём первой полости равен конечному объёму полости 0. В первой полости происходит дожатие газа до давления нагнетания по политропному закону, затем открывается нагнетательное отверстие и происходит выпуск газа. График изменения давления в полостях сжатия компрессора в зависимости от угла поворота вала (a) и индикаторная диаграмма (b) представлены на рис. 4.

 

Рис. 4. Изменение давлений в парных полостях (a) и индикаторная диаграмма компрессора (b).

Fig. 4. Change in pressure in paired chambers (a) and compressor indicator diagram (b).

 

СИЛЫ И МОМЕНТЫ

Осевые Силы

Осевые силы возникают в полостях сжатия компрессора и действуют вдоль оси вала. Эти силы были найдены как силы давления, действующие на плоскую стенку, т.е. как произведение площади полости на разность давлений с двух сторон основания спирали. Причем, при расчете было учтено, что до угла z₁ силы возникают в первой, второй и третьей парных полостях, а после – силы возникают в нулевой и третьей полостях. Расчет этих сил необходим для определения силы, которую нужно приложить для поджатия подвижной спирали к неподвижной.

Газовые Силы

Газовые силы действуют в радиальном направлении. Они были рассчитаны по методике, изложенной в [21]. Данные силы вызывают неуравновешенность компрессора, их расчет необходим для определения противовесов, уравновешивающих компрессор.

МОМЕНТЫ

Момент от газовых сил относительно оси вала был найден путем умножения суммарной газовой силы на эксцентриситет. Для получения суммарного момента, возникающего на валу, к моменту газовых сил был прибавлен момент трения, найденный как результат умножения коэффициента трения на газовую силу. Графики осевых сил (a) суммарной газовой силы (b) и суммарного момента на валу (c) в зависимости от угла поворота вала представлены на рис. 5.

 

Рис. 5. Осевые силы (a), суммарная газовая сила (b), суммарный момент на валу (c).

Fig. 5. Axial Forces (a), total gas force (b), total shaft torque (c).

 

РЕЗУЛЬТАТЫ

Оценка точности моделирования полостей сжатия спирального компрессора и процессов, проходящих в них, оценивалась путем нахождения относительной погрешности эффективной мощности компрессора, полученной в результате теплового расчета и мощности, полученной в результате динамического расчета. Погрешность мощности в приведенном расчете составила 8,8%, что свидетельствует о высокой точности предлагаемой методики.

ВЫВОДЫ

Разработана методика динамического расчета спирального компрессора в среде математического моделирования Mathcad, позволяющая оценить геометрию спиралей, а также силы и моменты, возникающие в процессе вращения вала с точностью до 8,8%.

Получены зависимости, позволяющие оценить изменение объемов и давлений в полостях сжатия компрессора в зависимости от угла подрезки спиралей.

Получены зависимости изменения сил и моментов, возникающих при работе компрессора, учитывающие скачок давления, обусловленный объединением полостей.

Достоинствами предлагаемой методики являются: довольно высокая точность, получаемых результатов, а также простота применения для проведения самостоятельных аналогичных расчетов.

К недостаткам можно отнести наличие упрощений и допущений, принятых в расчете, например, не учитываются перетечки газа между спиралями, при расчете давлений газ считается идеальным и т.д.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов, связанного с подготовкой и публикацией статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования и подготовке публикации.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contributions. All authors made a substantial contribution to the conceptual development and preparation of this article and read and approved the final version before publication.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by external sources of funding.

About the authors

Anton A. Zharov

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: zharov_a@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-9945-0850
SPIN-code: 8581-1809

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Artem V. Borisenko

Bauman Moscow State Technical University

Email: borart@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-4818-3702
SPIN-code: 2859-5006

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Anna V. Valiakina

Bauman Moscow State Technical University

Email: kholodtech@eco-vector.com
ORCID iD: 0000-0002-7709-1209
SPIN-code: 7679-2022

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Veronika S. Bykovskaya

Bauman Moscow State Technical University

Email: makhmutova@bmstu.ru
ORCID iD: 0009-0008-8974-6066
SPIN-code: 5948-7187
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files