Improvement of the design of radial lobe bearing on gas lubrication and development of the corresponding calculation software system

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В связи с увеличением скоростей вращения валов турбомашин в особенности авиационного и космического назначения [1], что продиктовано требованиями по компактности и снижению массы, встает вопрос обеспечения заданного ресурса подшипников. В настоящее время применяют подшипники следующих видов: шариковые [2, 3], электромагнитные [4, 5] и газовые. В свою очередь газовые подшипники подразделяются на газостатические [6-15] и газодинамические [16-19].

Причем, электромагнитные опоры требуют внешнего источника электропитания и собственной системы управления, газостатические требуют источников наддува, что усложняет турбомашину. В этой ситуации лепестковые подшипники на газовой смазке (ЛПГС) [20] не требуют дополнительных систем, работают на газе рабочего потока турбомашины и обладают хорошими демпфирующими характеристиками.

Опишем основные преимущества ЛПГС перед классическими шариковыми подшипниками:

• возможны скорости, недостижимые для классических подшипников, до 360 000 об/мин;
• массо-габаритные характеристики существенно ниже при аналогичных центробежных усилиях;
• время непрерывной работы существенно выше;
• низкий коэффициент трения;
• хорошая демпфирующая способность;
• нет необходимости в масляной смазке;
• относительно невысокая стоимость;
• ниже уровень звуковой мощности.

Общая конструкция данных подшипников очень проста и приведена на рисунке 1.

 

Рис. 1. Схема конструкции лепесткового подшипника на газовой смазке. 1 – статор; 2 – лепестки; 3 – вал; 4 – гофрированный элемент.

Fig. 1. Design diagram of a gas lubricated lobe bearing. 1 – stator; 2 – lobes; 3 – shaft; 4 – corrugated element.

 

Не смотря на привлекательность конструкции ЛПГС, их расчёт сильно затруднён, так как непосредственную работу производит тонкий слой газа, а не шарики, как в классических подшипниках. Эффективность ЛПГС напрямую зависит от его конструкции и, в частности, от формы лепестков и величины зазора между валом и лепестком.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Цель работы – создание математической модели работы лепесткового подшипника на газовой смазке, для определения распределения давления по поверхности лепестка. Форму зазора между лепестком и ротором будем задавать произвольной функцией с параметрами. Исходя из полученного распределения давления, можно будет судить об эффективности данной формы. Для того, чтобы отсортировать полученные результаты и вычленить наиболее подходящие, необходимо разработать систему критериев оценки.

МЕТОДЫ

Для Расчёта давления в слое смазки и соответствующих ему интегральных характеристик радиального ЛПГС приведены в рамках модели Рейнольдса (частном случае уравнений Навье-Стокса – уравнений движения потоков сжимаемого вязкого газа в тонком слое при малых числах Рейнольдса совместно с уравнением неразрывности) и уравнения для высоты смазочного слоя при следующих допущениях:

• режим течения газа по рабочему зазору ламинарный и силами инерции можно пренебречь;
• режим течения газа по рабочему зазору изотермический;
• течение газа стационарное;
• шероховатость рабочих поверхностей мала и не влияет на течение газа в рабочем зазоре;
• течение газовой смазки принимается сплошным;
• вязкость смазки сохраняет свое неизменное значение во всей области течения, а также по высоте зазора;
• жесткость гофрированной ленты равномерно распределена и постоянна по всей поверхности подшипника и не зависит от суммы деформаций гофров;
• лепесток не деформируется относительно гофров, т.е. не прогибается во впадины между гофрами, но повторяет их деформацию;
• прогиб гофра под действием силы зависит только от локального эффекта, т.е. от силы, действующей непосредственно в данной конкретной точке.

Возьмём уравнение Рейнольдса в следующем виде:

$\frac{\partial }{\partial \theta }\left({\overline{h}}^3 \overline{p} \frac{\partial \overline{p}}{\partial \theta }\right)+\frac{r^2}{L^2}\frac{\partial }{\partial z}\left({\overline{h}}^3 \overline{p} \frac{\partial \overline{p}}{\partial z}\right)=\text{Λ}\frac{\partial \overline{ph}}{\partial \theta }$ (1)

где p – давление газа, h – высота зазора, z – координата вдоль продольной оси ротора, $\theta$ – угловая координата, $\text{Λ}$ – параметр сжимаемости [21].

Уравнение (1) решается методом установления согласно работе [21].

На рис. 2 синим цветом изображена рабочая область лепестка подшипника.

 

Рис. 2. Визуализация работы подшипника.

Fig. 2. Visualization of bearing operation.

 

В силу того, что исходные условия, такие как, давление, частота оборотов, все время разные, то невозможно определить универсальную оптимальную форму зазора лепестка. Например, построим графики давления при изменениях скорости вращения ротора с разными геометрическими параметрами лепестков:

$\ln \left(x+1.1\right)a+b$ (2)

Для а =0.7, b ≈0.52, графики давления по центральному сечению лепестка представлены на рис. 3. Максимальная эпюра соответствует скорости вращения вала 32000 об/мин. Можно увидеть тенденцию смещения экстремума функции вправо, а значит при увеличении скоростей конец лепестка перестанет удерживать вал. Кроме того, несмотря на то, что растет величина максимального давления газа под лепестком, увеличивается неравномерность давления по длине лепестка, т.е. пик давления становится более ярко выраженным, а значит биения вала в подшипнике возрастают, что так же нежелательно.

 

Рис. 3. Распределение избыточного давления газа по поверхности лепестка при изменении скорости вращения ротора. Форма зазора выражается логарифмической функцией. По горизонтальной оси дана координата θ (угловая длина лепестка), а по вертикальной оси дана координата p (безразмерная величина давления).

Fig. 3. Distribution of excess gas pressure over the lobe surface when rotor rotation speed is changing. The shape of the clearance is expressed as a logarithmic function. The coordinate θ (the angular length of the lobe) is given on the horizontal axis, and the coordinate p is given on the vertical axis (dimensionless value of pressure).

 

Как следствие, для каждых начальных условий могут отличаться не только оптимальные параметры функций, но и вид самих функций, а значит необходимо проверять различные функции каждый раз при проектировании.

Для сравнения и сортировки полученных вариантов необходимо ввести критерии оценки:

Критерий максимума – чем выше максимальное давление, тем лучше. $K_{max}=p_{max}$.

Критерий минимума – чем ниже по модулю минимальное давление, тем лучше (в хорошем случае это значение соответствует единице, т.е. безразмерная величина давления p =1). $K_{min}=p_{min}$.

Интегральный критерий – определяет общий объем под графиком, который должен быть максимальным. $K_{инт}={\int }_{\text{Ω}}pdS$

Критерий наклона – показывает самый резкий наклон присутствующий на графике, и его необходимо выбрать наименьшим. $K_{накл}=\max \left(\frac{dp}{d\theta }\right)$.

С учетом вышесказанного, была разработана программа, скриншот работы которой изображен на рис. 4. В разработанной программе существует возможность автоматизированного расчета для пространства изменения переменных и функций, компоновки единой таблицы и вывода, построения объемной модели для последующего использования её в системах CAD, графиков давления. Расчет каждого варианта происходит быстрее, чем аналогичный расчет в среде MathCAD, так как расчеты ведутся на более низком и понятном компьютеру уровне. Множественность расчетов и удобство использования результатов ускоряют расчет во много раз, относительно расчета в среде MathCAD. Удобство разработанной программы состоит в ее блоковой структуре, наглядной установке взаимосвязей между блоками и разнообразным и понятным выводом, подходящим для отчета (построение графиков), для чертежей и визуализации.

 

Рис. 4. Скриншот работы программы.

Fig. 4. Screenshot of the program operation.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Оценив полученные результаты, можно уверенно сделать вывод по первичной оценке перспективности функции зазора лепестка:

• функция должна быть непрерывно убывающей на всей длине лепестка;
• функция должна быть максимально гладкой, однако прямая – не является лучшим вариантом.

Заметим, что критерий минимума ≈1 в пределах расчётной погрешности. Однако, критерий максимума не зависит на прямую от интегрального критерия. Таким образом экстремум максимума распределения давления от функции зазора $-3\sin \left(x\cdot 1.57\right)$ будет выше, чем у функции $–2x$, интегральный критерий которой – максимальный.

Если сравнить данные функции зазора по критерию наклона и обнаружим, что для линейной функции зазора, давление распределено более плавно.

Подберем для частного случая [8 лепестков, частота вращения вала 31000 об/мин, давление в 2 бар (абсолютное), вязкость равна 17.3⋅10^-6 Па⋅с, гарантированный зазор в 0.2 мм, радиус вала 40 мм, ширина подшипника 40 мм] наиболее оптимальный вариант. С помощью данной программы не составило труда обнаружить функцию, дающую максимально эффективный результат. В данном случае этой функцией является: $-1.29\ln \left(\tan \left(\frac{x+1.5}{2}\right)\right)+C$, где С – параметр, приравнивающий минимум данной функции к 0. При чем безразмерное среднее значение избыточного давления составит 0.0012 (чтобы образмерить, необходимо домножить на рабочее давление). При изменении первого параметра функции на 1%, изменение результата составит 10 процентов: так для функции $-1.28\ln \left(\tan \left(\frac{x+1.5}{2}\right)\right)+C$, среднее избыточное давление соответствует 0.00112. Таким образом можно наблюдать важность каждого коэффициента функции зазора лепестка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан специализированный программный комплекс для параметрической оптимизации газодинамических характеристик ЛПГС.

Разработанный инструмент позволяет не только рассчитать несколько случаев, но и помочь выбрать оптимальную форму зазора, на основе ряда предложенных критериев. Помимо всего прочего, расчет позволяет увидеть вариации в другом режиме работы установки, использование другого вещества, при других габаритных размерах и выбрать именно тот оптимум, что подойдёт конкретной установке. Более того, стало возможным расширение границ применимости лепестковых подшипников, например, на низких оборотах или больших диаметрах.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов, связанного с подготовкой и публикацией статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования и подготовке публикации.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contributions. All authors made a substantial contribution to the conceptual development and preparation of this article and read and approved the final version before publication.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by external sources of funding.

About the authors

Alexey V. Kasatkin

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: alexfr93@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0004-1114-9908
Russian Federation, Moscow

Anton A. Zharov

Bauman Moscow State Technical University

Email: zharov_a@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-9945-0850
SPIN-code: 8581-1809

Cand. Sci. (Tech.)

Russian Federation, Moscow

Ksenia V. Rossova

Bauman Moscow State Technical University

Email: ksen.rossova2011@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

Vitaly S. Nikolaev

Bauman Moscow State Technical University

Email: vs.nikolaev.bmstu@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5360-9368
SPIN-code: 5847-3632
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files